矩阵相似与合同的关系

❶ 矩阵等价，相似，合同之间的区别和联系

一、矩阵等价、相似和合同之间的区别：

1、等价，相似和合同三者都是等价关系。

2、矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。

3、矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。

4、矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB。

5、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B。

6、当上述矩阵P是正交矩阵时，即P^T=P^(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。

二、矩阵等价、相似、合同之间联系：

1、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。

2、矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。

3、 矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。

4、总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。

(1)矩阵相似与合同的关系扩展阅读：

矩阵等价：

1、同型矩阵而言。 

2、一般与初等变换有关。

3、 秩是矩阵等价的不变量，其次两同型矩阵相似的本质是秩相等。

矩阵相似：

1、针对方阵而言。

2、秩相等是必要条件。

3、本质是二者有相等的不变因子。

矩阵合同：

1、针对方阵而言，一般是对称矩阵。

2、秩相等是必需条件。

3、本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同。 

通过上述的对比可知，等价关系是三种关系中条件最弱的，合同与相似是特堵的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立，相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵式相似的，那一定是合同的。

❷ 矩阵等价相似合同的关系

等价指的是两个矩阵的秩一样
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样
相似是指两个矩阵特征值一样。

相似必合同，合同必等价。

❸ 矩阵合同和相似有关系吗

没有关系。

合同与相似是特殊的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两版个矩阵一定等价，反之权不成立。相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵是相似的，那肯定是合同的。

两矩阵合同的概念：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C^TAC=B，则称方阵A与B合同，记作 A≃B。

两矩阵相似的概念：设A/B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。

(3)矩阵相似与合同的关系扩展阅读：

合同矩阵的性质：

1、任意矩阵都与其自身合同。

2、A合同 B，则可以推出B合同于A。

3、A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C。

4、合同矩阵的秩相同。

相似矩阵的性质:

1、相似矩阵的秩相等。

2、相似矩阵的行列式相等。

3、相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似。

4、相似矩阵的特征值相同，特征多项式也相同。

❹ 矩阵的等价相似和合同三者有何区别

1、等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。

2、相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵 ，PQ=EPQ=E的等价矩阵是相似矩阵。

3、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵，正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵。合同矩阵未必是相似矩阵，相似矩阵未必合同。

4、正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵。如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同。

(4)矩阵相似与合同的关系扩展阅读：

矩阵切换器技术指标

矩阵切换器根据不同的应用领域，所要求的技术指标也不同。以广电行业为例，为保证终端的显示质量，广电行业将整个信号传输过程，从摄像头开始到电视机为止，都进行了技术指标分配，对模拟矩阵切换和分配。

一般指在多路输入的情况下有多路的输出选择，形成的矩阵结构，将形成M×N的结构称为矩阵切换器，而将M×1的结构称为切换器或选择器，1×M的结构称为分配器。矩阵的原理是利用芯片内部电路的导通与关闭进行接通与关断，并可通过电平进行控制完成信号的选择。

❺ 合同矩阵和相似矩阵的区别

相似，p^(-1)AP=B, 则称A相似B；
合同， XT AX=B，则称A，B合同；
简而言之，相似就是两个矩阵经过初等变换能从A变到B，此时有相同的秩，特征值；
合同就是两个矩阵有相同的正负惯性指数来进行判断

❻ 矩阵相似与矩阵合同有什么区别

一、应用不同

1、矩阵相似：利用矩阵对角化计算矩阵多项内式；利用矩阵对角化求解线性微分方程组容；利用矩阵对角化求解线性方程组。

2、矩阵合同：空间曲面的一般形式化成我们熟知的空间曲面的研究有帮助。

二、判别方式不同

1、矩阵相似：判断特征值是否相等；判断行列式是否相等；判断迹是否相等；判断秩是否相等。

2、矩阵合同：设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同；设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

三、二者性质不同

1、矩阵相似：两者的秩相等；两者的行列式值相等；两者的迹数相等；两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；两者拥有同样的特征多项式；两者拥有同样的初等因子。

2、矩阵合同：反身性，任意矩阵都与其自身合同；对称性，A合同于B，则可以推出B合同于A；，传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；，合同矩阵的秩相同。

❼ 矩阵的等价相似和合同三者有何区别

1、它们的概念不同

等价概念：若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A≌B。

合同概念概念：两个n阶方阵A_B,若存在可逆矩阵P,使得A≌Bp"AP=B成立，则称A,B合同，记作A≌B该过程成为合同变换。

相似概念： n阶方阵AB，若存在一个可逆矩阵P使得B=P="I4P成立，则称矩阵AB相似，记为A~B。

2、它们的条件不同

矩阵等价：同型矩阵而言，般与初等变换有关，秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的。

矩阵相似：针对方阵而言。秩相等是必要条件，本质是二者有相等的不变因子。

矩阵合同：针对方阵而言，一般是对称矩阵，秩相等是必需条件，本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同。

3、它们的充分必要条件不同

矩阵等价的充要条件：AB同型，且人r(A)=r(B)A≌B={存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立}

矩阵合同的充要条件：矩阵A.B均为实对称矩阵，则A≌B≈二次型xAx与x"Bx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

矩阵相似的充分条件及充要条件：充分条件：矩阵AB有相同的不变因子或行列式因子。充要条件： A~B口(2E-A)≌(AE-B)。

❽ 相似矩阵和合同矩阵的关系

我今天刚看完书……
相似必合同，合同必等价
等价就是矩阵拥有相同的r，
矩阵合同回，CtAC(Ct为转置)=B，矩阵乘以可逆矩答阵他的r不变，r(B)=r(CtAC)=r(AC)=r（A），等价。同理两矩阵相似一定等价
矩阵相似一定合同，因为两矩阵相似，有相同的特征多项式和特征根，就一定有相同的r，惯性系数一定相同，可以化成相同的标准形，矩阵合同的充要条件是有相同的r和规范形（A、B都有其对应的对角形矩阵，结合定义即可推出，太难打了自己理解谢谢），标准形相等规范形一定相等，所以相似一定合同

❾ 矩阵相似与矩阵合同有什么区别

本质的区别就是矩阵相似,若当块不变（就是简单当成特征值不变）.
矩阵合同,保持特征值的符号（即正负号）不变.