四元數誰發明

⑴ 四元數系的發現者是誰

數學家費爾馬

⑵ 數的產生及發展歷史是什麼

人類是動物進化的產物，最初也完全沒有數量的概念。 但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步 。這樣，在漫長的生活實踐中， 由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。 比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭， 就放3塊石子。"結繩記事" 也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《 易經》中有"結繩而治"的記載。 傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數。 用利器在樹皮上或獸皮上刻痕， 或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了， 就逐漸形成數的概念和記數的符號。 數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4…… 這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大小相同。 古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鍾上還常常使用。 實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（ 代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、 D（代表500）、M（代表1,000）。 這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。 它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數： 1．重復次數：一個羅馬數字元號重復幾次，就表示這個數的幾倍。 如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。 2．右加左減： 一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號， 就表示大數字加小數字，如"VI"表示"6"，"DC"表示" 600"。一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號， 就表示大數字減去小數字的數目，如"IV"表示"4"，"XL" 表示"40"，"VD"表示"495"。 3．上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數字的一千倍。 如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。 我國古代也很重視記數符號， 最古老的甲骨文和鍾鼎中都有記數的符號，不過難寫難認， 後人沒有沿用。到春秋戰國時期，生產迅速發展，適應這一需要， 我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法--籌算。 籌算用的算籌是竹製的小棍，也有骨制的。 按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。 隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符號了。 算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字。 從算籌數碼中沒有"10"這個數可以清楚地看出， 籌算從一開始就嚴格遵循十位進制。9位以上的數就要進一位。 同一個數字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。 這樣的計演算法在當時是很先進的。 因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。 但籌算數碼中開始沒有"零"，遇到"零"就空位。比如" 6708"，就可以表示為"┴╥ "。數字中沒有"零"，是很容易發生錯誤的。 所以後來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與"零" 的出現有關。不過多數人認為，"0" 這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。 他們最早用黑點（·）表示零，後來逐漸變成了"0"。 說起"0"的出現，應該指出，我國古代文字中，"零" 字出現很早。不過那時它不表示"空無所有"，而只表示"零碎"、 "不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五" 的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數字的引進。" 105"恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0"恰好對應，" 零"也就具有了"0"的含義。 如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有"0"。 其實在公元5世紀時，"0"已經傳入羅馬。 但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。 有一位羅馬學者在筆記中記載了關於使用"0"的一些好處和說明， 就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。 但"0"的出現，誰也阻擋不住。現在，"0" 已經成為含義最豐富的數字元號。"0"可以表示沒有， 也可以表示有。如：氣溫0℃，並不是說沒有氣溫；"0" 是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次冪等於1； 0！=1（零的階乘等於1）。 除了十進制以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進制、二進制、 三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、 六十進制等多種數字進製法。在長期實際生活的應用中， 十進制最終佔了上風。 現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0， 人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。 後來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去， 又把這一簡便易寫的十進制位值記數法傳遍了歐洲， 逐漸演變成今天的阿拉伯數字。 數的概念、 數碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結果。 隨著生產、生活的需要，人們發現， 僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時， 5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？於是分數就產生了。 中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零， 通稱為算術數。自然數也稱為正整數。 隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義， 比如增加和減少、前進和後退、上升和下降、向東和向西。 為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零， 統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。 有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。 但是，在數字的發展過程中，一件不愉快的事發生了。 讓我們回到大經貿部2500年前的希臘， 那裡有一個畢達哥拉斯學派，是一個研究數學、科學和哲學的團體。 他們認為"數"是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。 因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例， 這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數是指整數。 分數的出現，使"數"不那樣完整了。 但分數都可以寫成兩個整數之比，所以他們的信仰沒有動搖。 但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時， 發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它。 如果設這個數為X，既然，推導的結果即x2=2。 他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x ，根據勾股定理x2=12+12=2， 可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數， 這個數肯定是存在的。可它是多少？又該怎樣表示它呢？ 希帕索斯等人百思不得其解，最後認定這是一個從未見過的新數。 這個新數的出現使畢達哥拉斯學派感到震驚， 動搖了他們哲學思想的核心。 為了保持支撐世界的數學大廈不要坍塌， 他們規定對新數的發現要嚴守秘密。 而希帕索斯還是忍不住將這個秘密泄露了出去。 據說他後來被扔進大海餵了鯊魚。然而真理是藏不住的。 人們後來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率 就是最重要的一個。人們把它們寫成 π、等形式，稱它們為無理數。 有理數和無理數一起統稱為實數。 在實數范圍內對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程 度。這時人類的歷史已進入19世紀。 許多人認為數學成就已經登峰造極， 數字的形式也不會有什麼新的發現了。 但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數負數， 這道題還有解嗎？如果沒有解， 那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。 於是數學家們就規定用符號"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虛數就這樣誕生了。"i "成了虛數的單位。後人將實數和虛數結合起來，寫成 a＋bi的形式（a、b均為實數），這就是復數。 在很長一段時間里， 人們在實際生活中找不到用虛數和復數表示的量， 所以虛數總讓人感到虛無縹緲。隨著科學的發展， 虛數現在在水力學、地圖學和航空學上已經有了廣泛的應用， 在掌握和會使用虛數的科學家眼中，虛數一點也不"虛"了。 數的概念發展到虛和復數以後，在很長一段時間內， 連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了， 數學家族的成員已經都到齊了。可是1843年10月16日， 英國數學家哈密爾頓又提出了"四元數"的概念。所謂四元數， 就是一種形如的數。它是由一個標量 （實數）和一個向量（其中x 、y 、z 為實數）組成的。四元數的數論、群論、 量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。與此同時， 人們還開展了對"多元數"理論的研究。 多元數已超出了復數的范疇，人們稱其為超復數。 由於科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、 域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。 這些概念也都應列入數字計算的范疇，但若歸入超復數中不太合適， 所以，人們將復數和超復數稱為狹義數，把向量、張量、 矩阿等概念稱為廣義數。盡管人們對數的歸類法還有某些分歧， 但在承認數的概念還會不斷發展這一點上意見是一致的。 到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。

⑶ 四元數是怎樣發現並且被證明的

19世紀，愛爾蘭著名數學家哈密頓提出了一個世界著名的問題：周遊世界問題。

1859年，哈密頓拿到一個正十二面體的模型。我們知道，正十二面體有12個面、20個頂點、30條棱，每個面都是相同的正五邊形。

他發明了一個數學游戲：假如把這20個頂點當作20個大城市，比如巴黎、紐約、倫敦、北京……把這30條棱當作連接這些大城市的道路。

如果有一個人，他從某個大城市出發，每個大城市都走過，而且只走一次，最後返回原來出發的城市。問這種走法是否可以實現？

這就是著名的「周遊世界問題」。

我們如果知道七座橋的傳說，就會意識到這是一道拓撲學研究范圍內的問題。

解決這個問題，方法很重要。它需要一種很特殊的幾何思路。這種題是不能拿正十二面體的點線去試的。

設想，這個正十二面體如果是橡皮膜做成的，那麼我們就可以把這個正十二面體壓成一個平面圖。假設哈密頓所提的方法可以實現的話，那麼這20個頂點一定是一個封閉的20角形世界。

依照這種思路，我們就進入了最初步的拓撲學領域。最後的答案是，哈密頓的想法可以實現。

哈密頓是一位首先提出「四元數」的人。這個成果至今還鐫刻在他天才火花閃現的地方。

復數可以用來表示平面的向量，在物理上有極其廣泛的應用。人們很自然地聯想到：能否仿照復數集找到「三維復數」來進行空間量的表示呢？

1828年開始，哈密頓開始悉心研究四元數。四元數屬於線性代數的組成部分，是一種超復數。但在哈密頓以前，沒有人提出四元數，哈密頓也是要解決空間量表示而研究的。

研究了十多年，哈密頓沒有絲毫進展，他是一個數學神童，少有難題，這次可真遇上麻煩了。到1843年，哈密頓研究了整整15年。

有一天下午，夕陽無限，秋色爽麗，風景宜人。哈密頓的妻子見丈夫埋頭研究問題，幾乎不知寒暑不問春秋，於是很想讓他外出放鬆一下，調節一下身體。

她說：「親愛的，外面的自然即使不比你的數學更有趣，但也不會遜色的，快出去看看吧，多麼美麗的秋天呀!」

哈密頓在妻子的勸說下，放下手頭的問題，走出書房。

夫妻二人散步，不知不覺來到護城河畔。秋風柔和而涼爽，河面波光粼粼。清新的空氣帶著成熟的果香和大自然土壤的芬芳使人精神振奮，思維清晰。

他們陶醉在大自然中，這時暮色蒼茫，晚景宜人。二人來到玻洛漢姆橋，對著清新的水氣，望著萬家燈火，哈密頓的頭腦在若有若無之中思考，似乎遠又似乎近，似乎清楚又似乎模糊的東西久久在腦海縈繞。招之不來，揮之不去。

突然之間，這些印象似的感覺都變成了亮點，以往的迷霧全部消失彌散，思維的閃電劃過頭腦的天空。哈密頓眼前豁地亮了，那些澄明的要點一一顯露。

哈密頓迅速地拿出隨身攜帶的筆記本，把這令人欣喜若狂的結果記錄下來。15年來，整整15年，終於在這里找到了解法！

借著這個時機，哈密頓大踏步地飛奔回家，一頭扎進書房，廢寢忘食。一連幾天，幾乎不動地方，全神貫注地書寫並且不時地演算。在幾寸厚的稿紙中，哈密頓整理出一篇劃時代意義的論文。

1843年11月，數學界被轟動了，哈密頓和愛爾蘭科學院向世人宣布了「四元數」。

哈密頓證明了，要想在實數基礎上建立三維復數，使它具有實數和復數的各種運算性質，這是不可能的。

1853年，哈密頓寫成《四元數講義》，於1857年發表。在他逝世後第二年，即1866年發表了《四元數原理》。

哈密頓敏銳地感覺到四元數的物理學意義。只可惜，他沒能目睹四元數的變革作用便離開了人間。

偉大的麥克斯韋正是在哈密頓四元數理論基礎上利用向量分析的工具走出迷茫，得出舉世聞名的電磁理論的。

四元數的研究，推動了向量代數的發展。在19世紀，數學家證明了超復數系統，人類思維達到了空前廣闊的領域。

直到現在，愛爾蘭都柏林玻洛漢姆橋，哈密頓駐足之處，仍立著一塊石碑，碑銘記載：「1843年10月16日，威廉·哈密頓經過此橋時，天才地閃現了四元數的乘法，它與實數、復數顯著不同。」

誰又知道，駐足緬懷的人中有幾人能知科學探索的「靈感閃現」背後是數載的艱辛呢？

⑷ 哈密頓發明了「四元數」，證明了什麼

1843年11月，數來學界被轟動了，哈密頓自和愛爾蘭科學院向世人宣布了「四元數」。

哈密頓證明了，要想在實數基礎上建立三維復數，使它具有實數和復數的各種運算性質，這是不可能的。

1853年，哈密頓寫成《四元數講義》，於1857年發表。在他逝世後第二年，即1866年發表了《四元數原理》。

⑸ 數學是我們的發明還是發現呢

在數學中有些東西，似乎只是「人的作品」，用「發明」要恰當些。比如：在證明某些結果的過程中，數學家發現必須引進某種巧妙的而同時並非唯一的構想，以得到某種特別的結果。然而在另一些情況下，用術語「發現」的確比「發明」更貼切得多。如復數。當它引入後，人們從它的
結構中得到的東西比預先放進的東西多得多。人們可以認為，在這種情形下數學家和「上帝的傑作」邂逅。也就是說，復數與復數的性質都是客觀的，既非任何人的發明，也不是任何一群數學家的有意設計。它不是人類思維的發明：它是一個發現！數學家們只是重新「發現」了它們！數
學家實際上是發現現成的真理，這些真理的存在完全獨立於數學家的活動之外。數學對象是一種獨立的、不依賴於人類思維的客觀存在。
我們可以引述兩位偉大數學家的意見。
阿基米德認為，數學關系的客觀存在與人類能否解釋它們無關。
牛頓說：「我不知道世人對我怎樣看法，我只覺得自己好像是在海濱游戲的孩子，有時為找到一塊光滑的石子或比較美麗的貝殼而高興，而真理的海洋仍然在我的前面未被發現。
可見，再偉大的數學家也僅不過是能夠瞥見永恆真理一部分的幸運者。
當然，數學與客觀實在的聯系並不總是如此緊密有力。如四元數以及各種超復數的引入就是反對這種聯系者提出的例證。四元數的引入有著物理背景，但對其他的超復數就連這種背景也失去了。它們似乎已是數學家的自由創造物。這類現象在數學中事實上是不少見的。數學概念的第一次
抽象往往與外界世界有著緊密聯系。但這些概念一旦引入數學中，就往往會進一步抽象化。當這種抽象化達到一定程度時，它與外界就似乎失去了關聯。
只馳騁於數學內部的邏輯，而不關心數學與外部的聯系，卻做出重要數學貢獻的數學家不在少數。伴隨著數學抽象程度越來越高，尤其是數學公理化思想的盛行，一段時間內否定數學與外界的聯系的觀點在數學家中變得相當普遍。
但誠如龐加萊在1897年蘇黎世第一屆國際數學家代表大會的報告中所指出的：「……如果允許我繼續拿這些優美藝術作比，那麼把外部世界置諸腦後的數學家，就好比是懂得如何把色彩與形態和諧地結合起來但卻沒有模特兒的畫家，他們的創造力很快就會枯竭。」數學發展的歷史證明了
他是很有見地的。在他作出這個形象的比喻後80年，在丹麥召開了專門討論數學同現實世界關系的國際性學術討論會，更多的數學家相信數學同現實世界是密切相關的，數學反映了現實世界並在現實的應用中得到發展。

⑹ 數學是人類的發現，還是發明

在數學中有些東西，似乎只是「人的作品」，用「發明」要恰當些。比如：在證明某些結果的過程中，數學家發現必須引進某種巧妙的而同時並非唯一的構想，以得到某種特別的結果。然而在另一些情況下，用術語「發現」的確比「發明」更貼切得多。如復數。當它引入後，人們從它的結構中得到的東西比預先放進的東西多得多。人們可以認為，在這種情形下數學家和「上帝的傑作」邂逅。也就是說，復數與復數的性質都是客觀的，既非任何人的發明，也不是任何一群數學家的有意設計。它不是人類思維的發明：它是一個發現！數學家們只是重新「發現」了它們！數學家實際上是發現現成的真理，這些真理的存在完全獨立於數學家的活動之外。數學對象是一種獨立的、不依賴於人類思維的客觀存在。
我們可以引述兩位偉大數學家的意見。
阿基米德認為，數學關系的客觀存在與人類能否解釋它們無關。
牛頓說：「我不知道世人對我怎樣看法，我只覺得自己好像是在海濱游戲的孩子，有時為找到一塊光滑的石子或比較美麗的貝殼而高興，而真理的海洋仍然在我的前面未被發現。可見，再偉大的數學家也僅不過是能夠瞥見永恆真理一部分的幸運者。
當然，數學與客觀實在的聯系並不總是如此緊密有力。如四元數以及各種超復數的引入就是反對這種聯系者提出的例證。四元數的引入有著物理背景，但對其他的超復數就連這種背景也失去了。它們似乎已是數學家的自由創造物。這類現象在數學中事實上是不少見的。數學概念的第一次抽象往往與外界世界有著緊密聯系。但這些概念一旦引入數學中，就往往會進一步抽象化。當這種抽象化達到一定程度時，它與外界就似乎失去了關聯。只馳騁於數學內部的邏輯，而不關心數學與外部的聯系，卻做出重要數學貢獻的數學家不在少數。伴隨著數學抽象程度越來越高，尤其是數學公理化思想的盛行，一段時間內否定數學與外界的聯系的觀點在數學家中變得相當普遍。
但誠如龐加萊在1897年蘇黎世第一屆國際數學家代表大會的報告中所指出的：「……如果允許我繼續拿這些優美藝術作比，那麼把外部世界置諸腦後的數學家，就好比是懂得如何把色彩與形態和諧地結合起來但卻沒有模特兒的畫家，他們的創造力很快就會枯竭。」數學發展的歷史證明了他是很有見地的。在他作出這個形象的比喻後80年，在丹麥召開了專門討論數學同現實世界關系的國際性學術討論會，更多的數學家相信數學同現實世界是密切相關的，數學反映了現實世界並在現實的應用中得到發展。

⑺ 向量是由誰創立的

向量的建立經過了一個漫長的過程,所以不能說具體由哪個人建立起來的.
從數學發展史來看，歷史上很長一段時間，空間的向量結構並未被數學家們所認識，直到19世紀末20世紀初，人們才把空間的性質與向量運算聯系起來，使向量成為具有一套優良運算通性的數學體系。
向量能夠進入數學並得到發展，首先應從復數的幾何表示談起．18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數a＋bi，並利用具有幾何意義的復數運算來定義向量的運算．把坐標平面上的點用向量表示出來，並把向量的幾何表示用於研究幾何問題與三角問題．人們逐步接受了復數，也學會了利用復數來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進入了數學。

但復數的利用是受限制的，因為它僅能用於表示平面，若有不在同一平面上的力作用於同一物體，則需要尋找所謂三維「復數」以及相應的運算體系．19世紀中期，英國數學家漢密爾頓發明了四元數（包括數量部分和向量部分），以代表空間的向量．他的工作為向量代數和向量分析的建立奠定了基礎．隨後，電磁理論的發現者，英國的數學物理學家麥克思韋爾把四元數的數量部分和向量部分分開處理，從而創造了大量的向量分析。

三維向量分析的開創，以及同四元數的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德於19世紀SO年代各自獨立完成的．他們提出，一個向量不過是四元數的向量部分，但不獨立於任何四元數．他們引進了兩種類型的乘法，即數量積和向量積．並把向量代數推廣到變向量的向量微積分．從此，向量的方法被引進到分析和解析幾何中來，並逐步完善，成為了一套優良的數學工具。

⑻ W·R·哈密頓是誰一生有何作為

19世紀愛爾蘭著名數學家W·R·哈密頓提出了一個世界著名的問題：周遊世界問題。
1859年，哈密頓拿到一個正十二面體的模型。我們知道，正十二面體有12個面、20個頂點、30條棱，每個面都是相同的正五邊形。
他發明了一個數學游戲：假如把這20個頂點當作20個大城市，比如巴黎、紐約、倫敦、北京……，把這30條棱當作連接這些大城市的道路。
如果有一個人，他從某個大城市出發，每個大城市都走過，而且只走一次，最後返回原來出發的城市。問這種走法是否可以實現?這就是著名的「周遊世界問題」。
我們如果知道七座橋的傳說，就會意識到這是一道拓撲學研究范圍內的問題。
解決這個問題，方法很重要。它需要一種很特殊的幾何思路。這種題是不能拿正十二面體的點線去試的。
設想，這個正十二面體如果是橡皮膜做成的，那麼我們就可以把這個正十二面體壓成一個平面圖。假設哈密頓所提的方法可以實現的話，那麼這20個頂點一定是一個封閉的20角形世界。
依照這種思路，我們就進入了最初步的拓撲學領域。最後的答案是，哈密頓的想法可以實現。
哈密頓是一位首先提出「四元數」的人。這個成果至今還鐫刻在他天才火花閃現的地方。
復數可以用來表示平面的向量，在物理上有極其廣泛的應用。人們很自然地聯想到：能否仿照復數集找到「三維復數」來進行空間量的表示呢?1828年開始，哈密頓開始悉心研究四元數。四元數屬於線性代數的組成部分，是一種超復數。但在哈密頓以前，沒有人提出四元數，哈密頓也是要解決空間量表示而研究的。
研究了十多年，哈密頓沒有絲毫進展，他是一個數學神童，少有難題，這次可真遇上麻煩了。到1843年，哈密頓研究了整整15年。
有一天下午，夕陽無限，秋色爽麗，風景宜人。哈密頓的妻子見丈夫埋頭研究問題，幾乎不知寒暑不問春秋，於是很想讓他外出放鬆一下，調節一下身體。
她說：「親愛的，外面的自然即使不比你的數學更有趣，但也不會遜色的，快出去看看吧，多麼美麗的秋天呀!」
哈密頓在妻子的勸說下，放下手頭的問題，走出書房。
夫妻二人散步，不知不覺來到護城河畔。秋風柔和而涼爽，河面波光粼粼。清新的空氣帶著成熟的果香和大自然土壤的芬芳使人精神振奮，思維清晰。
他們陶醉在大自然中，這時暮色蒼茫，晚景宜人。二人來到玻洛漢姆橋，對著清新的水汽，望著萬家燈火，哈密頓的頭腦在若有若無之中思考，似乎遠又似乎近，似乎清楚又似乎模糊的東西久久在腦海縈繞。招之不來，揮之不去。突然之間，這些印象似的感覺都變成了亮點，以往的迷霧全部消失彌散，思維的閃電劃過頭腦的天空。哈密頓眼前豁地亮了，那些澄明的要點一一顯露。
哈密頓迅速地拿出隨身攜帶的筆記本，把這令人欣喜若狂的結果記錄下來。15年來，整整15年，終於在這里找到了解法！
借著這個時機，哈密頓大踏步地飛奔回家，一頭扎進書房，廢寢忘食。一連幾天，幾乎不動地方，全神貫注地書寫並且不時地演算。在幾寸厚的稿紙中，哈密頓整理出一篇劃時代意義的論文。
1843年11月，數學界被轟動了，哈密頓和愛爾蘭科學院向世人宣布了「四元數」。
哈密頓證明了，要想在實數基礎上建立三維復數，使它具有實數和復數的各種運算性質，這是不可能的。
1853年，哈密頓寫成《四元數講義》，於1857年發表。在他逝世後第二年，即1866年發表了《四元數原理》。
哈密頓敏銳地感覺到四元數的物理學意義。只可惜，他沒能目睹四元數的變革作用便離開人間。
偉大的麥克斯韋正是在哈密頓四元數理論基礎上利用向量分析的工具走出迷茫，得出舉世聞名的電磁理論的。
四元數的研究，推動了向量代數的發展。在19世紀，數學家證明了超復數系統，人類思維達到了空前廣闊的領域。
直到現在，愛爾蘭都柏林玻洛漢姆橋，哈密頓駐足之處，仍立著一塊石碑，碑銘記載：「1843年10月16日，威廉·哈密頓經過此橋時，天才地閃現了四元數的乘法，它與實數、復數顯著不同。」
誰又知道，駐足緬懷的人中有幾人能知科學探索的「靈感閃現」背後是數載的艱辛呢?