矩陣合同條件

A. 如何理解矩陣合同的充要條件

二次型用的矩陣是實抄對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。相似矩陣與合同矩陣的秩都相同。

設M是n階實系數對稱矩陣， 如果對任何一非零實向量X，都使二次型f(X)= X′MX>0，則稱f(X)為正定二次型，f(X)的矩陣M稱為正定矩陣。一種實對稱矩陣。正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩陣A(=A′)稱為正定矩陣。

判定定理1：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的特徵值全為正。

判定定理2：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的各階順序主子式都為正。

判定定理3：任意陣A為正定的充分必要條件是：A合同於單位陣。

(1)矩陣合同條件擴展閱讀：

1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；

2、對稱性：A合同於B，則可以推出B合同於A；

3、傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C；

4、合同矩陣的秩相同。

5、矩陣合同的主要判別法：設A,B均為復數域上的n階對稱矩陣,則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同；設A,B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負特徵值的個數相等）。

B. 怎樣判斷兩個矩陣合同

矩陣合同的主要自判別法：

1、設A，B均為復數域上的n階對稱矩陣，則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同。

2、設A，B均為實數域上的n階對稱矩陣，則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負的個數對應相等）。

在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。兩個實對稱矩陣A和B是合同的，當且僅當存在一個可逆矩陣P，使得對於二次型的矩陣表示來說，做一次非退化的線性替換相當於將二次型的矩陣變為一個與其合同的矩陣。

1、對於任一實系數n元二次型X'AX，要化為標准型，實際上就是要找一個可逆變換X=CY，將它化為Y'BY的形式，其中B為對角陣。則C'AC=B,B就是A的一個合同矩陣了。

2、如果你想要的是將A經合同變換化為B時的變換矩陣C，常用的方法有3種，即配方法、初等變換法和正交變換法。

(2)矩陣合同條件擴展閱讀：

合同關系是一個等價關系，也就是說滿足：

1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；

2、對稱性：A合同於B，則可以推出B合同於A；

3、傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C；

4、合同矩陣的秩相同。

C. 線性代數中，怎麼判斷兩個矩陣是否合同

矩陣合同的判別法：

設A，B均為復數域上的n階對稱矩陣，則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同。

設A，B均為實數域上的n階對稱矩陣，則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負特徵值的個數相等）。

(3)矩陣合同條件擴展閱讀：

合同矩陣發展史

1、1855 年，埃米特證明了其他數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。後來 ，克萊伯施、布克海姆等證明了對稱矩陣的特徵根性質。泰伯引入矩陣的跡的概念並得出了一些有關的結論。

2、在矩陣論的發展史上，弗羅伯紐斯的貢獻是不可磨滅的。他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，並討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質。

3、1854年，約當研究了矩陣化為標准型的問題。 1892 年，梅茨勒引進了矩陣的超越函數概念並將其寫成矩陣的冪級數的形式。

D. 在什麼條件下兩個矩陣合同

正負慣性指數分別相同的同型矩陣
比較簡易的判斷方法是求出兩個矩陣所有特徵值，看看正的有幾個，負的有幾個，如果個數一樣，就合同，當然，矩陣同型是前提

另外就是定義法，B=C'AC,C可逆，則可以說明A,B矩陣是合同矩陣，C'比表示C轉置

E. 什麼叫兩個矩陣相似、合同如何判斷兩個矩陣相似如何判斷兩個矩陣合同

兩矩陣相似的條件是書上定義，特徵值什麼的，說的是矩陣能夠相似回對角化的條件。答矩陣相似對角化的充要條件是n階矩陣有n個線性無關的特徵向量。矩陣能夠相似對角化的充分條件是，n階矩陣有n個不同的特徵值，矩陣是實對稱矩陣。

F. 判斷兩個矩陣合同

矩陣合同的主要判別法：
1、設A，B均為復數域上的n階對稱矩內陣，則A與容B在復數域上合同等價於A與B的秩相同。
2、設A，B均為實數域上的n階對稱矩陣，則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負的個數對應相等）。
在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。兩個實對稱矩陣A和B是合同的，當且僅當存在一個可逆矩陣P，使得對於二次型的矩陣表示來說，做一次非退化的線性替換相當於將二次型的矩陣變為一個與其合同的矩陣。
1、對於任一實系數n元二次型X'AX，要化為標准型，實際上就是要找一個可逆變換X=CY，將它化為Y'BY的形式，其中B為對角陣。則C'AC=B,B就是A的一個合同矩陣了。
2、如果你想要的是將A經合同變換化為B時的變換矩陣C，常用的方法有3種，即配方法、初等變換法和正交變換法。
(6)矩陣合同條件擴展閱讀：
合同關系是一個等價關系，也就是說滿足：
1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；
2、對稱性：A合同於B，則可以推出B合同於A；
3、傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C；
4、合同矩陣的秩相同。
參考資料來源：搜狗網路-合同矩陣

G. 矩陣A與自身合同的條件是什麼

好像是不對

H. 如何判斷矩陣合同、相似、等價

1、矩陣等價

矩陣A與B等價必須具備的兩個條件：

(1)矩陣A與B必為同型矩陣(不要求是方陣)；

(2)存在s階可逆矩陣p和n階可逆矩陣Q， 使B= PAQ。

2、矩陣A與B合同

必須同時具備的兩個條件：

(1) 矩陣A與B不僅為同型矩陣而且是方陣；

(2) 存在n階矩陣P: P^TAP= B。

3、矩陣A與B相似

必須同時具備兩個條件：

(1)矩陣A與B不僅為同型矩陣，而且是方陣；

(2)存在n階可逆矩陣P，使得P^-1AP= B。

(8)矩陣合同條件擴展閱讀

矩陣的相似，實際上兩個相似矩陣描述的是同一個線性變換，只是在不同基底下的坐標表示。相似矩陣的特徵值相同，秩也相同，方陣對應的行列式也相同。

判斷兩個矩陣是否相似，一般的題型是看兩個矩陣能否相似於同一對角陣。同時兩個矩陣相似，其對應的以矩陣為變數的兩個函數也相似。

矩陣的合同是在二次型的背景下提出來的，理解合同就針對二次型里的對稱陣，給一個二次型，我們可以寫成矩陣表達形式，做一系列的可逆變換，新得到的表示二次型的矩陣，就是與原矩陣合同的新矩陣。

對於對稱陣，兩矩陣合同的重要條件是正負慣性指數相同，也就是正特徵值的個數，負特徵值的個數相同。

矩陣相似與否和合同與否沒有直接關系，但在我們的考試當中，一般考察對稱陣，在對稱陣的前提下，矩陣相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特徵值一樣，合同只要求特徵值的正負性一樣。

I. 矩陣合同的充要條件需不需要兩個矩陣都是實對稱矩陣

這取決於你所謂的充要條件是什麼

一般教材上默認只對實對稱陣（或Hermite陣）討論合同關系，所以以你的知識可以不用考慮非對稱的合同