矩陣相似與合同的關系

❶ 矩陣等價，相似，合同之間的區別和聯系

一、矩陣等價、相似和合同之間的區別：

1、等價，相似和合同三者都是等價關系。

2、矩陣相似或合同必等價，反之不一定成立。

3、矩陣等價，只需滿足兩矩陣之間可以通過一系列可逆變換，也即若干可逆矩陣相乘得到。

4、矩陣相似，則存在可逆矩陣P使得，AP=PB。

5、矩陣合同，則存在可逆矩陣P使得，P^TAP=B。

6、當上述矩陣P是正交矩陣時，即P^T=P^(-1)，則有A，B之間既滿足相似，又滿足合同關系。

二、矩陣等價、相似、合同之間聯系：

1、矩陣等秩是相似、合同、等價的必要條件，相似、合同、等價是等秩的充分條件。

2、矩陣等價是相似、合同的必要條件，相似、合同是等價的充分條件。

3、 矩陣相似、合同之間沒有充要關系，存在相似但不合同的矩陣，也存在合同但不相似的矩陣。

4、總結起來就是：相似=>等價，合同=>等價，等價=>等秩。

(1)矩陣相似與合同的關系擴展閱讀：

矩陣等價：

1、同型矩陣而言。 

2、一般與初等變換有關。

3、 秩是矩陣等價的不變數，其次兩同型矩陣相似的本質是秩相等。

矩陣相似：

1、針對方陣而言。

2、秩相等是必要條件。

3、本質是二者有相等的不變因子。

矩陣合同：

1、針對方陣而言，一般是對稱矩陣。

2、秩相等是必需條件。

3、本質是秩相等且正慣性指數相等，即標准型相同。 

通過上述的對比可知，等價關系是三種關系中條件最弱的，合同與相似是特堵的等價關系，若兩個矩陣相似或合同，則這兩個矩陣一定等價，反之不成立，相似與合同不能互相推導，但是如果兩個實對稱矩陣式相似的，那一定是合同的。

❷ 矩陣等價相似合同的關系

等價指的是兩個矩陣的秩一樣
合同指的是兩個矩陣的正定性一樣，也就是說，兩個矩陣對應的特徵值符號一樣
相似是指兩個矩陣特徵值一樣。

相似必合同，合同必等價。

❸ 矩陣合同和相似有關系嗎

沒有關系。

合同與相似是特殊的等價關系，若兩個矩陣相似或合同，則這兩版個矩陣一定等價，反之權不成立。相似與合同不能互相推導，但是如果兩個實對稱矩陣是相似的，那肯定是合同的。

兩矩陣合同的概念：設A,B是兩個n階方陣，若存在可逆矩陣C，使得C^TAC=B，則稱方陣A與B合同，記作 A≃B。

兩矩陣相似的概念：設A/B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。

(3)矩陣相似與合同的關系擴展閱讀：

合同矩陣的性質：

1、任意矩陣都與其自身合同。

2、A合同 B，則可以推出B合同於A。

3、A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C。

4、合同矩陣的秩相同。

相似矩陣的性質:

1、相似矩陣的秩相等。

2、相似矩陣的行列式相等。

3、相似矩陣具有相同的可逆性, 當它們可逆時,則它們的逆矩陣也相似。

4、相似矩陣的特徵值相同，特徵多項式也相同。

❹ 矩陣的等價相似和合同三者有何區別

1、等價（只有秩相同）–>合同（秩和正負慣性指數相同）–>相似（秩，正負慣性指數，特徵值均相同），矩陣親密關系的一步步深化。

2、相似矩陣必為等價矩陣，但等價矩陣未必為相似矩陣 ，PQ=EPQ=E的等價矩陣是相似矩陣。

3、合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為合同矩陣，正慣性指數相同的等價矩陣是合同矩陣。合同矩陣未必是相似矩陣，相似矩陣未必合同。

4、正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣。如果A與B都是n階實對稱矩陣，且有相同的特徵根．則A與B既相似又合同。

(4)矩陣相似與合同的關系擴展閱讀：

矩陣切換器技術指標

矩陣切換器根據不同的應用領域，所要求的技術指標也不同。以廣電行業為例，為保證終端的顯示質量，廣電行業將整個信號傳輸過程，從攝像頭開始到電視機為止，都進行了技術指標分配，對模擬矩陣切換和分配。

一般指在多路輸入的情況下有多路的輸出選擇，形成的矩陣結構，將形成M×N的結構稱為矩陣切換器，而將M×1的結構稱為切換器或選擇器，1×M的結構稱為分配器。矩陣的原理是利用晶元內部電路的導通與關閉進行接通與關斷，並可通過電平進行控制完成信號的選擇。

❺ 合同矩陣和相似矩陣的區別

相似，p^(-1)AP=B, 則稱A相似B；
合同， XT AX=B，則稱A，B合同；
簡而言之，相似就是兩個矩陣經過初等變換能從A變到B，此時有相同的秩，特徵值；
合同就是兩個矩陣有相同的正負慣性指數來進行判斷

❻ 矩陣相似與矩陣合同有什麼區別

一、應用不同

1、矩陣相似：利用矩陣對角化計算矩陣多項內式；利用矩陣對角化求解線性微分方程組容；利用矩陣對角化求解線性方程組。

2、矩陣合同：空間曲面的一般形式化成我們熟知的空間曲面的研究有幫助。

二、判別方式不同

1、矩陣相似：判斷特徵值是否相等；判斷行列式是否相等；判斷跡是否相等；判斷秩是否相等。

2、矩陣合同：設A,B均為復數域上的n階對稱矩陣,則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同；設A,B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負特徵值的個數相等）。

三、二者性質不同

1、矩陣相似：兩者的秩相等；兩者的行列式值相等；兩者的跡數相等；兩者擁有同樣的特徵值，盡管相應的特徵向量一般不同；兩者擁有同樣的特徵多項式；兩者擁有同樣的初等因子。

2、矩陣合同：反身性，任意矩陣都與其自身合同；對稱性，A合同於B，則可以推出B合同於A；，傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C；，合同矩陣的秩相同。

❼ 矩陣的等價相似和合同三者有何區別

1、它們的概念不同

等價概念：若矩陣A可以經過有限次初等變換化為B，則稱矩陣A與B等價，記為A≌B。

合同概念概念：兩個n階方陣A_B,若存在可逆矩陣P,使得A≌Bp"AP=B成立，則稱A,B合同，記作A≌B該過程成為合同變換。

相似概念： n階方陣AB，若存在一個可逆矩陣P使得B=P="I4P成立，則稱矩陣AB相似，記為A~B。

2、它們的條件不同

矩陣等價：同型矩陣而言，般與初等變換有關，秩是矩陣等價的不變數，同次，兩同型矩陣相似的。

矩陣相似：針對方陣而言。秩相等是必要條件，本質是二者有相等的不變因子。

矩陣合同：針對方陣而言，一般是對稱矩陣，秩相等是必需條件，本質是秩相等且存在慣性指數相等，即標准型同。

3、它們的充分必要條件不同

矩陣等價的充要條件：AB同型，且人r(A)=r(B)A≌B={存在可逆矩陣P和Q，使得PAQ=B成立}

矩陣合同的充要條件：矩陣A.B均為實對稱矩陣，則A≌B≈二次型xAx與x"Bx有相等的E負慣性指數，即有相同的標准型。

矩陣相似的充分條件及充要條件：充分條件：矩陣AB有相同的不變因子或行列式因子。充要條件： A~B口(2E-A)≌(AE-B)。

❽ 相似矩陣和合同矩陣的關系

我今天剛看完書……
相似必合同，合同必等價
等價就是矩陣擁有相同的r，
矩陣合同回，CtAC(Ct為轉置)=B，矩陣乘以可逆矩答陣他的r不變，r(B)=r(CtAC)=r(AC)=r（A），等價。同理兩矩陣相似一定等價
矩陣相似一定合同，因為兩矩陣相似，有相同的特徵多項式和特徵根，就一定有相同的r，慣性系數一定相同，可以化成相同的標准形，矩陣合同的充要條件是有相同的r和規范形（A、B都有其對應的對角形矩陣，結合定義即可推出，太難打了自己理解謝謝），標准形相等規范形一定相等，所以相似一定合同

❾ 矩陣相似與矩陣合同有什麼區別

本質的區別就是矩陣相似,若當塊不變（就是簡單當成特徵值不變）.
矩陣合同,保持特徵值的符號（即正負號）不變.