矩陣的合同

Ⅰ 矩陣相似與矩陣合同有什麼區別

矩陣相似與矩陣合同具體的不同點在於：

1. 矩陣相似的例子中，P-1AP=B；針對方陣而言；秩相等為必要條件；本質是二者有相等的不變因子；可看作是同一線性變換在不同基下的矩陣；矩陣相似必等價，但等價不一定相似。

2. 矩陣合同的例子中，CTAC=B；針對方陣而言；秩相等為必要條件；本質是秩相等且正慣性指數相等，即標准型相同；可通過二次型的非退化的線性替換來理解；矩陣合同必等價，但等價不一定合同。

3. 總結：矩陣的相似和矩陣的合同都是由線性空間中坐標系的轉換引起的。我們在線性空間中定義矩陣和向量的乘法，並將矩陣理解成線性空間中「運動」的施加，變換坐標系之後，同一個「運動」在不同坐標系下是相似的關系。我們在線性空間中定義向量的內積（或者說雙線性型），同一個雙線性型運算在不同坐標系下相差合同矩陣。之所以要換坐標系，就是為了在最簡單的坐標系下看清問題的本質。

。

在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。一般在線代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中二次型用的矩陣是實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。

2.性質：

合同關系是一個等價關系，就是說滿足：1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；2、 對稱性：A合同 B，則可以推出B合同於A；3、 傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同 C；4、合同矩陣的秩相同。

3.矩陣合同的主要判別法：

（1）B均為復數域上的n階對稱矩陣,則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同.

（2）B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負的個數對應相等）。

Ⅱ 矩陣的等價相似和合同三者有何區別

1、等價（只有秩相同）–>合同（秩和正負慣性指數相同）–>相似（秩，正負慣性指數，特徵值均相同），矩陣親密關系的一步步深化。

2、相似矩陣必為等價矩陣，但等價矩陣未必為相似矩陣 ，PQ=EPQ=E的等價矩陣是相似矩陣。

3、合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為合同矩陣，正慣性指數相同的等價矩陣是合同矩陣。合同矩陣未必是相似矩陣，相似矩陣未必合同。

4、正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣。如果A與B都是n階實對稱矩陣，且有相同的特徵根．則A與B既相似又合同。

(2)矩陣的合同擴展閱讀：

矩陣切換器技術指標

矩陣切換器根據不同的應用領域，所要求的技術指標也不同。以廣電行業為例，為保證終端的顯示質量，廣電行業將整個信號傳輸過程，從攝像頭開始到電視機為止，都進行了技術指標分配，對模擬矩陣切換和分配。

一般指在多路輸入的情況下有多路的輸出選擇，形成的矩陣結構，將形成M×N的結構稱為矩陣切換器，而將M×1的結構稱為切換器或選擇器，1×M的結構稱為分配器。矩陣的原理是利用晶元內部電路的導通與關閉進行接通與關斷，並可通過電平進行控制完成信號的選擇。

Ⅲ 這個矩陣合同怎麼證明呢

根據題目條件寫出來合同矩陣關系式
然後根據關系式，湊出來新的矩陣驗證是否合同就好啦

Ⅳ 矩陣合同的傳遞性怎麼證明

設矩陣A與矩陣B合同，矩陣B與矩陣C合同，字母T表示矩陣的轉置
即存在可逆矩陣P，Q，使得A=PT*B*P，B=QT*C*Q
所以A=PT*B*P=PT*(QT*C*Q)*P=PT*QT*C*Q*P=(Q*P)T*C*(Q*P)
又因為矩陣P，矩陣Q可逆，所以│P│≠0，│Q│≠0
所以│Q*P│=│Q│*│P│≠0，即矩陣Q*P可逆
即存在可逆矩陣Q*P，使得A=(Q*P)T*C*(Q*P)
所以矩陣A與矩陣C合同
所以，矩陣合同具有傳遞性

Ⅳ 合同矩陣怎麼找

合同矩陣：兩個實對稱矩陣A和B，如存在可逆矩陣P，使得

就稱矩陣A和B互為合同矩陣，並且稱由A到B的變換叫合同變換。

在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。兩個實對稱矩陣A和B是合同的，當且僅當存在一個可逆矩陣P，使得對於二次型的矩陣表示來說，做一次非退化的線性替換相當於將二次型的矩陣變為一個與其合同的矩陣。

1 對於任一實系數n元二次型X'AX，要化為標准型，實際上就是要找一個可逆變換X=CY，將它化為Y'BY的形式，其中B為對角陣。則C'AC=B,B就是A的一個合同矩陣了。
2 如果你想要的是將A經合同變換化為B時的變換矩陣C，常用的方法有3種，即配方法、初等變換法和正交變換法。
（1）配方法：如果二次型中含變數xi的平方項，則先將含xi的項集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方項；如果二次型不含平方項，但某混合項系數aij不為0，可先通過xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）這一可逆變換使二次型中出現平方項後，按前一方法配方。
例，f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1^2+4x1x2+2x1x3)+x2^2+3x3^2+2x2x3
=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;
作變換y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得標准型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.
將上述變換求出逆變換x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,寫成矩陣形式X=CY形式，其中C=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分號表示矩陣行結束）就是合同變換中的變換矩陣。
例，f=2x1x2-6x1x3,無平方項，則先作變換x1=y1+y2,x2=y1-y2,y3=x3,代入f中
f=2y1^2-2y2^2-6y1y3-6y2y3=2(y1-3/2*y3)^2-2(y2+3/2*y3)^2;
再作變換z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3用逆變換y1=z1+3/2*z3,y2=z2-3/2*z3,y3=z3,就能把f化成
f=2z1^2-2z2^2這種標准二次型。
最後將再次用的變換寫成矩陣形式，X=C1*Y,Y=C2*Z的形式，X=C1*C2*Z,則C=C1*C2就是所求（具體計算略）。
（2）初等變換法：
將二次型的矩陣A與同階單位陣I合並成n_2n的矩陣（A|I），在這個矩陣中作初等行變換並對子塊A再作同樣的初等列變換，當將A化為對角陣時，子塊I將會變為C』。
（3）正交變換法：
先寫出二次型f的tdbl，它是實對稱矩陣，求出全部特徵值λi（i=1，2，……，n）；再對每一特徵值寫出它所對應的單位特徵向量（特徵值相同的不同特徵向量注意正交化）；把上述單位正交特徵向量作為矩陣的列構造正交矩陣T，那麼正交變換X=TY將會把二次型X'AX化為標准形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2

Ⅵ 矩陣等價，矩陣相似，矩陣合同的區別與聯系

等價一般是指可以通過初等變換變成另一個，本質上只需要兩個矩陣秩相同就可以了。是個很寬泛的條件，應用不大。
A相似於B，是存在非異矩陣P，使得PAP^-1=B,這個是線性代數或者高等代數裡面最重要的關系，高等代數一半左右都在研究這個。相似可以推出等價。
合同和上面看起太有點像，是存在非異矩陣P，使得PAP『=B，注意，這里P』是P的轉置，而非逆陣。這一般應用在二次型理論上面。合同也可以推出等價。合同的條件是兩個矩陣慣性系數一樣。就是說正特徵，負特徵數目一樣。
如果矩陣是正規矩陣，那麼相似可以推出合同。
ps，研究合同時往往要求矩陣是對稱陣。對稱陣都是正規陣。

Ⅶ 如何判斷矩陣合同、相似、等價

1、矩陣等價

矩陣A與B等價必須具備的兩個條件：

(1)矩陣A與B必為同型矩陣(不要求是方陣)；

(2)存在s階可逆矩陣p和n階可逆矩陣Q， 使B= PAQ。

2、矩陣A與B合同

必須同時具備的兩個條件：

(1) 矩陣A與B不僅為同型矩陣而且是方陣；

(2) 存在n階矩陣P: P^TAP= B。

3、矩陣A與B相似

必須同時具備兩個條件：

(1)矩陣A與B不僅為同型矩陣，而且是方陣；

(2)存在n階可逆矩陣P，使得P^-1AP= B。

(7)矩陣的合同擴展閱讀

矩陣的相似，實際上兩個相似矩陣描述的是同一個線性變換，只是在不同基底下的坐標表示。相似矩陣的特徵值相同，秩也相同，方陣對應的行列式也相同。

判斷兩個矩陣是否相似，一般的題型是看兩個矩陣能否相似於同一對角陣。同時兩個矩陣相似，其對應的以矩陣為變數的兩個函數也相似。

矩陣的合同是在二次型的背景下提出來的，理解合同就針對二次型里的對稱陣，給一個二次型，我們可以寫成矩陣表達形式，做一系列的可逆變換，新得到的表示二次型的矩陣，就是與原矩陣合同的新矩陣。

對於對稱陣，兩矩陣合同的重要條件是正負慣性指數相同，也就是正特徵值的個數，負特徵值的個數相同。

矩陣相似與否和合同與否沒有直接關系，但在我們的考試當中，一般考察對稱陣，在對稱陣的前提下，矩陣相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特徵值一樣，合同只要求特徵值的正負性一樣。

Ⅷ 合同矩陣的性質

我今天剛看完書……
相似必合同,合同必等價
等價就是矩陣擁有相同的r,
矩陣合同,CtAC(Ct為轉置)=B,矩陣乘以可逆矩陣他的r不變,r(B)=r(CtAC)=r(AC)=r（A）,等價.同理兩矩陣相似一定等價
矩陣相似一定合同,因為兩矩陣相似,有相同的特徵多項式和特徵根,就一定有相同的r,慣性系數一定相同,可以化成相同的標准形,矩陣合同的充要條件是有相同的r和規范形（A、B都有其對應的對角形矩陣,結合定義即可推出,太難打了自己理解謝謝）,標准形相等規范形一定相等,所以相似一定合同

Ⅸ 線性代數中，怎麼判斷兩個矩陣是否合同

矩陣合同的判別法：

設A，B均為復數域上的n階對稱矩陣，則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同。

設A，B均為實數域上的n階對稱矩陣，則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負特徵值的個數相等）。

(9)矩陣的合同擴展閱讀：

合同矩陣發展史

1、1855 年，埃米特證明了其他數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。後來 ，克萊伯施、布克海姆等證明了對稱矩陣的特徵根性質。泰伯引入矩陣的跡的概念並得出了一些有關的結論。

2、在矩陣論的發展史上，弗羅伯紐斯的貢獻是不可磨滅的。他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，並討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質。

3、1854年，約當研究了矩陣化為標准型的問題。 1892 年，梅茨勒引進了矩陣的超越函數概念並將其寫成矩陣的冪級數的形式。